3n^2-4n-15=0 megoldása

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3n^{2}+an+bn-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -4.

$$a=-9 b=5$$

Átírjuk az értéket (3n^{2}-4n-15) \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) alakban.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

A 3n a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) n-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a n-3=0 és a 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 ellentettje 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{4±14}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

18 elosztása a következővel: 6.

$$n=3$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{4±14}{6}). ± előjele negatív. 14 kivonása a következőből: 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

A törtet (\frac{-10}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 elosztása a következővel: 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Elosztjuk a(z) -\frac{4}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{2}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{2}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{2}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 5 és \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Tényezőkre n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{2}{3}.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$