3x^2-15x=5 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -15x=5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2}\approx 5,313657169$$

$$x=-\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2}\approx -0,313657169$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-15x=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$3x^{2}-15x-5=5-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-15x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -5.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+60}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és 60.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{285}}{2\times 3}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{285}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{285}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±\sqrt{285}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és \sqrt{285}.

$$x=\frac{\sqrt{285}+15}{6}$$

15+\sqrt{285} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±\sqrt{285}}{6}). ± előjele negatív. \sqrt{285} kivonása a következőből: 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{285}}{6}$$

15-\sqrt{285} elosztása a következővel: 6.

$$x=-\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-15x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{5}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{5}{3}$$

-15 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{3}$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{3}+\frac{25}{4}$$

\frac{5}{3} és \frac{25}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{95}{12}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{95}{12}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{95}{12}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{285}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{285}}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{285}}{6}+\frac{5}{2}$$