25y^2-54y-63=0 megoldása

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 25y^{2}+ay+by-63 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -54.

$$a=-75 b=21$$

Átírjuk az értéket (25y^{2}-54y-63) \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) alakban.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

A 25y a második csoportban lévő első és 21 faktort.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) y-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a y-3=0 és a 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 25 értéket a-ba, a(z) -54 értéket b-be és a(z) -63 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: -100 és -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Összeadjuk a következőket: 2916 és 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 ellentettje 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{54±96}{50}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 54 és 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

150 elosztása a következővel: 50.

$$y=3$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{54±96}{50}). ± előjele negatív. 96 kivonása a következőből: 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

A törtet (\frac{-42}{50}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 63.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -63 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

-63 kivonása a következőből: 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

A(z) 25 értékkel való osztás eltünteti a(z) 25 értékkel való szorzást.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{54}{25} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{27}{25}. Ezután hozzáadjuk -\frac{27}{25} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{27}{25} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

\frac{63}{25} és \frac{729}{625} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Tényezőkre y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{27}{25}.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$