23x^2+12x-35geq0 megoldása

$$23 x ^ { 2 } + 12 x - 35 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,-\frac{35}{23}]\cup [1,\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$23x^{2}+12x-35=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 23 értéket a-ba, a(z) 12 értéket b-be és a(z) -35 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 23\left(-35\right)}}{2\times 23}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-12±58}{46}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-12±58}{46}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=1 x=-\frac{35}{23}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$23\left(x-1\right)\left(x+\frac{35}{23}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-1 és x+\frac{35}{23}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-1 és x+\frac{35}{23} eredménye egyaránt ≤0.

$$x-1\leq 0 x+\frac{35}{23}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq -\frac{35}{23}.

$$x\leq -\frac{35}{23}$$

Tegyük fel, hogy x-1 és x+\frac{35}{23} eredménye egyaránt ≥0.

$$x+\frac{35}{23}\geq 0 x-1\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq 1.

$$x\geq 1$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq -\frac{35}{23}\text{; }x\geq 1$$