200=-3n^2+49n megoldása

$$200 = - 3 n ^ { 2 } + 49 n$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n=8$$

$$n = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$-3n^{2}+49n=200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 200.

$$-3n^{2}+49n-200=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -3n^{2}+an+bn-200 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=49 ab=-3\left(-200\right)=600$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 600.

$$1,600 2,300 3,200 4,150 5,120 6,100 8,75 10,60 12,50 15,40 20,30 24,25$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+600=601 2+300=302 3+200=203 4+150=154 5+120=125 6+100=106 8+75=83 10+60=70 12+50=62 15+40=55 20+30=50 24+25=49$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 49.

$$a=25 b=24$$

Átírjuk az értéket (-3n^{2}+49n-200) \left(-3n^{2}+25n\right)+\left(24n-200\right) alakban.

$$\left(-3n^{2}+25n\right)+\left(24n-200\right)$$

A -n a második csoportban lévő első és 8 faktort.

$$-n\left(3n-25\right)+8\left(3n-25\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3n-25 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3n-25\right)\left(-n+8\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3n-25=0 és a -n+8=0.

$$n=\frac{25}{3} n=8$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$-3n^{2}+49n=200$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 200.

$$-3n^{2}+49n-200=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -3 értéket a-ba, a(z) 49 értéket b-be és a(z) -200 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\left(-3\right)\left(-200\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 49.

$$n=\frac{-49±\sqrt{2401-4\left(-3\right)\left(-200\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3.

$$n=\frac{-49±\sqrt{2401+12\left(-200\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 12 és -200.

$$n=\frac{-49±\sqrt{2401-2400}}{2\left(-3\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 2401 és -2400.

$$n=\frac{-49±\sqrt{1}}{2\left(-3\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$n=\frac{-49±1}{2\left(-3\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -3.

$$n=\frac{-49±1}{-6}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-49±1}{-6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -49 és 1.

$$n=-\frac{48}{-6}$$

-48 elosztása a következővel: -6.

$$n=8$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-49±1}{-6}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: -49.

$$n=-\frac{50}{-6}$$

A törtet (\frac{-50}{-6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n=\frac{25}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=8 n=\frac{25}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$-3n^{2}+49n=200$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -3.

$$\frac{-3n^{2}+49n}{-3}=\frac{200}{-3}$$

A(z) -3 értékkel való osztás eltünteti a(z) -3 értékkel való szorzást.

$$n^{2}+\frac{49}{-3}n=\frac{200}{-3}$$

49 elosztása a következővel: -3.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n=\frac{200}{-3}$$

200 elosztása a következővel: -3.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n=-\frac{200}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{49}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{49}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{49}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n+\left(-\frac{49}{6}\right)^{2}=-\frac{200}{3}+\left(-\frac{49}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{49}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n+\frac{2401}{36}=-\frac{200}{3}+\frac{2401}{36}$$

-\frac{200}{3} és \frac{2401}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n+\frac{2401}{36}=\frac{1}{36}$$

Tényezőkre n^{2}-\frac{49}{3}n+\frac{2401}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{49}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{49}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{49}{6}=\frac{1}{6} n-\frac{49}{6}=-\frac{1}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{49}{6}.

$$n=\frac{25}{3} n=8$$