2y^2+2y-1=0 megoldása

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

-2+2\sqrt{3} elosztása a következővel: 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}). ± előjele negatív. 2\sqrt{3} kivonása a következőből: -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

-2-2\sqrt{3} elosztása a következővel: 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

2 elosztása a következővel: 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{2} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Tényezőkre y^{2}+y+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$