2x-5=sqrt{x^2-7} megoldása

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

A megoldás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(2x-5\right)^{2}).

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x^{2}-7} érték 2. hatványát. Az eredmény x^{2}-7.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 7. Az eredmény 32.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx+32 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 96.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -20.

$$a=-12 b=-8$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-20x+32) \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és -8 faktort.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-4=0 és a 3x-8=0.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Behelyettesítjük a(z) 4 értéket x helyére a(z) 2x-5=\sqrt{x^{2}-7} egyenletben.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=4 érték kielégíti az egyenletet.

$$3=3$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{8}{3} értéket x helyére a(z) 2x-5=\sqrt{x^{2}-7} egyenletben.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\frac{8}{3} érték kielégíti az egyenletet.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

A(z) 2x-5=\sqrt{x^{2}-7} egyenlet összes megoldásának felsorolása

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$