2x^2-19x-10=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx-10 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -19.

$$a=-20 b=1$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-19x-10) \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Emelje ki a(z) 2x elemet a(z) 2x^{2}-20x kifejezésből.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-10=0 és a 2x+1=0.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -19 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 361 és 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

-19 ellentettje 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{19±21}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 19 és 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

40 elosztása a következővel: 4.

$$x=10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{19±21}{4}). ± előjele negatív. 21 kivonása a következőből: 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

A törtet (\frac{-2}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

-10 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

10 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Elosztjuk a(z) -\frac{19}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{19}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{19}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{19}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Összeadjuk a következőket: 5 és \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{19}{4}.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$