2x^2-15x-1=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}). ± előjele negatív. \sqrt{233} kivonása a következőből: 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{15}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

\frac{1}{2} és \frac{225}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$