2x^2-15x=-7 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 15 x = - 7$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=7$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 2x^{2}+ax+bx+7 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-15 ab=2\times 7=14$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -15.

$$a=-14 b=-1$$

Átírjuk az értéket (2x^{2}-15x+7) \left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right) alakban.

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(-x+7\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$2x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-7\right)\left(2x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-7=0 és a 2x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-15x-\left(-7\right)=0$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}-15x+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\times 7}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 7.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-56}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és -56.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±13}{2\times 2}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±13}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{15±13}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±13}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és 13.

$$x=\frac{28}{4}$$

28 elosztása a következővel: 4.

$$x=7$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±13}{4}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: 15.

$$x=\frac{2}{4}$$

A törtet (\frac{2}{4}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-15x=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=-\frac{7}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{15}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{225}{16}$$

-\frac{7}{2} és \frac{225}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{169}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{13}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{4}.

$$x=7 x=\frac{1}{2}$$