2x^2-11x+16=0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

-11 ellentettje 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}). ± előjele negatív. i\sqrt{7} kivonása a következőből: 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

-16 elosztása a következővel: 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{4}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Összeadjuk a következőket: -8 és \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{4}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$