2x^2+5x+1<0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} és x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} eredménye pozitív, x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} eredménye pozitív, x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$