2x^2+4x-2leq0 megoldása

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 2 \leq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\right)\leq 0$$

A szorzat csak akkor ≤0, ha a két érték (x-\left(\sqrt{2}-1\right) és x-\left(-\sqrt{2}-1\right)) közül az egyik ≥0, a másik pedig ≤0. Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 és x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0 és x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left[-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$