2x^2+x-5=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +x-5=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 40.

$$x=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}). ± előjele negatív. \sqrt{41} kivonása a következőből: -1.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$2x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$2x^{2}+x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{5}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

\frac{5}{2} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$