2x^2+x+3=0 megoldása

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -8 és 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}). ± előjele negatív. i\sqrt{23} kivonása a következőből: -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$2x^{2}+x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

A(z) 2 értékkel való osztás eltünteti a(z) 2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{2} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{4}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{4} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{4} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

-\frac{3}{2} és \frac{1}{16} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$