18y^2-13y-5geq0 megoldása

$$18 y ^ { 2 } - 13 y - 5 \geq 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y\in (-\infty,-\frac{5}{18}]\cup [1,\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$18y^{2}-13y-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 18 értéket a-ba, a(z) -13 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$y=\frac{13±23}{36}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{13±23}{36}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$y=1 y=-\frac{5}{18}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$18\left(y-1\right)\left(y+\frac{5}{18}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (y-1 és y+\frac{5}{18}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy y-1 és y+\frac{5}{18} eredménye egyaránt ≤0.

$$y-1\leq 0 y+\frac{5}{18}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás y\leq -\frac{5}{18}.

$$y\leq -\frac{5}{18}$$

Tegyük fel, hogy y-1 és y+\frac{5}{18} eredménye egyaránt ≥0.

$$y+\frac{5}{18}\geq 0 y-1\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás y\geq 1.

$$y\geq 1$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$y\leq -\frac{5}{18}\text{; }y\geq 1$$