16x^2-5x+1=0 megoldása

$$16 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32}\approx 0,15625+0,195156187i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}\approx 0,15625-0,195156187i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$16x^{2}-5x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 16}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 16}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-64}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -64.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-39}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -39.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{39}i}{2\times 16}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{39}i}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{5±\sqrt{39}i}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{39}i}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és i\sqrt{39}.

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{39}i}{32}). ± előjele negatív. i\sqrt{39} kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32} x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$16x^{2}-5x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$16x^{2}-5x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$16x^{2}-5x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}-5x}{16}=-\frac{1}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{16} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{32}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{32} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x+\left(-\frac{5}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{5}{32}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{32} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x+\frac{25}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{25}{1024}$$

-\frac{1}{16} és \frac{25}{1024} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{16}x+\frac{25}{1024}=-\frac{39}{1024}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{16}x+\frac{25}{1024}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{32}\right)^{2}=-\frac{39}{1024}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{1024}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{32}=\frac{\sqrt{39}i}{32} x-\frac{5}{32}=-\frac{\sqrt{39}i}{32}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{32}.

$$x=\frac{5+\sqrt{39}i}{32} x=\frac{-\sqrt{39}i+5}{32}$$