1530quadx^2-30x-470=0 megoldása

$$1530 \quad x ^ { 2 } - 30 x - 470 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}\approx 0,564137449$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}\approx -0,544529606$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1530 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) -470 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 1530\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 1530.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-6120\left(-470\right)}}{2\times 1530}$$

Összeszorozzuk a következőket: -6120 és -470.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+2876400}}{2\times 1530}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és 2876400.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{2877300}}{2\times 1530}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2877300.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

-30 ellentettje 30.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{2\times 1530}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 1530.

$$x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 30 és 30\sqrt{3197}.

$$x=\frac{30\sqrt{3197}+30}{3060}$$

30+30\sqrt{3197} elosztása a következővel: 3060.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±30\sqrt{3197}}{3060}). ± előjele negatív. 30\sqrt{3197} kivonása a következőből: 30.

$$x=\frac{30-30\sqrt{3197}}{3060}$$

30-30\sqrt{3197} elosztása a következővel: 3060.

$$x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$1530x^{2}-30x-470=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 470.

$$1530x^{2}-30x-470-\left(-470\right)=-\left(-470\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -470 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$1530x^{2}-30x=-\left(-470\right)$$

-470 kivonása a következőből: 0.

$$1530x^{2}-30x=470$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 1530.

$$\frac{1530x^{2}-30x}{1530}=\frac{470}{1530}$$

A(z) 1530 értékkel való osztás eltünteti a(z) 1530 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{1530}\right)x=\frac{470}{1530}$$

A törtet (\frac{-30}{1530}) leegyszerűsítjük 30 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{470}{1530}$$

A törtet (\frac{470}{1530}) leegyszerűsítjük 10 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x=\frac{47}{153}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{51} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{102}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{102} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{47}{153}+\left(-\frac{1}{102}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{102} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{47}{153}+\frac{1}{10404}$$

\frac{47}{153} és \frac{1}{10404} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}=\frac{3197}{10404}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{51}x+\frac{1}{10404}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}=\frac{3197}{10404}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{102}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3197}{10404}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{102}=\frac{\sqrt{3197}}{102} x-\frac{1}{102}=-\frac{\sqrt{3197}}{102}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{102}.

$$x=\frac{\sqrt{3197}+1}{102} x=\frac{1-\sqrt{3197}}{102}$$