12x^2+17x-7=0 megoldása

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 12x^{2}+ax+bx-7 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 17.

$$a=-4 b=21$$

Átírjuk az értéket (12x^{2}+17x-7) \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right) alakban.

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-1=0 és a 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 12 értéket a-ba, a(z) 17 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: -48 és -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Összeadjuk a következőket: 289 és 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-17±25}{24}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -17 és 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

A törtet (\frac{8}{24}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-17±25}{24}). ± előjele negatív. 25 kivonása a következőből: -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

A törtet (\frac{-42}{24}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

A(z) 12 értékkel való osztás eltünteti a(z) 12 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Elosztjuk a(z) \frac{17}{12} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{17}{24}. Ezután hozzáadjuk \frac{17}{24} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

A(z) \frac{17}{24} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

\frac{7}{12} és \frac{289}{576} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{17}{24}.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$