11x^2-9x+1>0 megoldása

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 11 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} és x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} és x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} eredménye egyaránt negatív.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} és x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} eredménye egyaránt pozitív.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$