10x^2-7x-12geq0 megoldása

$$10 x ^ { 2 } - 7 x - 12 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,-\frac{4}{5}]\cup [\frac{3}{2},\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$10x^{2}-7x-12=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 10 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -12 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{7±23}{20}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±23}{20}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{4}{5}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\frac{3}{2} és x+\frac{4}{5}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\frac{3}{2} és x+\frac{4}{5} eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\frac{3}{2}\leq 0 x+\frac{4}{5}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq -\frac{4}{5}.

$$x\leq -\frac{4}{5}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{3}{2} és x+\frac{4}{5} eredménye egyaránt ≥0.

$$x+\frac{4}{5}\geq 0 x-\frac{3}{2}\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \frac{3}{2}.

$$x\geq \frac{3}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq -\frac{4}{5}\text{; }x\geq \frac{3}{2}$$