-51t+49t^2=105 megoldása

$$-51t+49 { t }^{ 2 } = 105$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t = \frac{\sqrt{23181} + 51}{98} \approx 2,074011008$$

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}\approx -1,033194681$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$49t^{2}-51t=105$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 105.

$$49t^{2}-51t-105=105-105$$

Ha kivonjuk a(z) 105 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$49t^{2}-51t-105=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 49 értéket a-ba, a(z) -51 értéket b-be és a(z) -105 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{\left(-51\right)^{2}-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -51.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 49.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-196\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: -196 és -105.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601+20580}}{2\times 49}$$

Összeadjuk a következőket: 2601 és 20580.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

-51 ellentettje 51.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 49.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 51 és \sqrt{23181}.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}). ± előjele negatív. \sqrt{23181} kivonása a következőből: 51.

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$49t^{2}-51t=105$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 49.

$$\frac{49t^{2}-51t}{49}=\frac{105}{49}$$

A(z) 49 értékkel való osztás eltünteti a(z) 49 értékkel való szorzást.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{105}{49}$$

A törtet (\frac{105}{49}) leegyszerűsítjük 7 kivonásával és kiejtésével.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{15}{7}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{51}{49} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{51}{98}. Ezután hozzáadjuk -\frac{51}{98} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{51}{98} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{15}{7}+\frac{2601}{9604}$$

\frac{15}{7} és \frac{2601}{9604} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{23181}{9604}$$

Tényezőkre t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{23181}{9604}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23181}{9604}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t-\frac{51}{98}=\frac{\sqrt{23181}}{98} t-\frac{51}{98}=-\frac{\sqrt{23181}}{98}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{51}{98}.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$