-2x^2+20x=48 megoldása

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=4$$

$$x=6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 48.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx-24 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=6 b=4$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+10x-24) \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 48.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

Ha kivonjuk a(z) 48 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) 20 értéket b-be és a(z) -48 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±4}{-4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -20 és 4.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

-16 elosztása a következővel: -4.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-20±4}{-4}). ± előjele negatív. 4 kivonása a következőből: -20.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

-24 elosztása a következővel: -4.

$$x=6$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=6$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-2x^{2}+20x=48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

A(z) -2 értékkel való osztás eltünteti a(z) -2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

20 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

48 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-10x=-24$$

Elosztjuk a(z) -10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -5. Ezután hozzáadjuk -5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

Összeadjuk a következőket: -24 és 25.

$$x^{2}-10x+25=1$$

Tényezőkre x^{2}-10x+25. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-5=1 x-5=-1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$x=6 x=4$$