-110=37587x+-491x^2 megoldása

$$-110 = 37587x+-491 { x }^{ 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{1412998609} + 37587}{982} \approx 76,554861259$$

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}\approx -0,002926432$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 110.

$$37587x-491x^{2}+110=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-491x^{2}+37587x+110=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -491 értéket a-ba, a(z) 37587 értéket b-be és a(z) 110 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{37587^{2}-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 37587.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+1964\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 1964 és 110.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+216040}}{2\left(-491\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1412782569 és 216040.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{2\left(-491\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -37587 és \sqrt{1412998609}.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

-37587+\sqrt{1412998609} elosztása a következővel: -982.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}). ± előjele negatív. \sqrt{1412998609} kivonása a következőből: -37587.

$$x=\frac{-\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

-37587-\sqrt{1412998609} elosztása a következővel: -982.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982} x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-491x^{2}+37587x=-110$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -491.

$$\frac{-491x^{2}+37587x}{-491}=-\frac{110}{-491}$$

A(z) -491 értékkel való osztás eltünteti a(z) -491 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{37587}{-491}x=-\frac{110}{-491}$$

37587 elosztása a következővel: -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=-\frac{110}{-491}$$

-110 elosztása a következővel: -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=\frac{110}{491}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{37587}{491} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{37587}{982}. Ezután hozzáadjuk -\frac{37587}{982} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{110}{491}+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{37587}{982} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{110}{491}+\frac{1412782569}{964324}$$

\frac{110}{491} és \frac{1412782569}{964324} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{1412998609}{964324}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{1412998609}{964324}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1412998609}{964324}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{37587}{982}=\frac{\sqrt{1412998609}}{982} x-\frac{37587}{982}=-\frac{\sqrt{1412998609}}{982}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{37587}{982}.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982} x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$