-1000x^2+17000x+30000=0 megoldása

$$-1000 { x }^{ 2 } +17000x+30000=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{409} + 17}{2} \approx 18,611874208$$

$$x=\frac{17-\sqrt{409}}{2}\approx -1,611874208$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-1000x^{2}+17000x+30000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1000 értéket a-ba, a(z) 17000 értéket b-be és a(z) 30000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{17000^{2}-4\left(-1000\right)\times 30000}}{2\left(-1000\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 17000.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{289000000-4\left(-1000\right)\times 30000}}{2\left(-1000\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1000.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{289000000+4000\times 30000}}{2\left(-1000\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4000 és 30000.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{289000000+120000000}}{2\left(-1000\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 289000000 és 120000000.

$$x=\frac{-17000±\sqrt{409000000}}{2\left(-1000\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 409000000.

$$x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{2\left(-1000\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1000.

$$x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{-2000}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{-2000}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -17000 és 1000\sqrt{409}.

$$x=\frac{1000\sqrt{409}-17000}{-2000}$$

-17000+1000\sqrt{409} elosztása a következővel: -2000.

$$x=\frac{17-\sqrt{409}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-17000±1000\sqrt{409}}{-2000}). ± előjele negatív. 1000\sqrt{409} kivonása a következőből: -17000.

$$x=\frac{-1000\sqrt{409}-17000}{-2000}$$

-17000-1000\sqrt{409} elosztása a következővel: -2000.

$$x=\frac{\sqrt{409}+17}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{17-\sqrt{409}}{2} x=\frac{\sqrt{409}+17}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-1000x^{2}+17000x+30000=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30000.

$$-1000x^{2}+17000x+30000-30000=-30000$$

Ha kivonjuk a(z) 30000 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-1000x^{2}+17000x=-30000$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1000.

$$\frac{-1000x^{2}+17000x}{-1000}=-\frac{30000}{-1000}$$

A(z) -1000 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1000 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{17000}{-1000}x=-\frac{30000}{-1000}$$

17000 elosztása a következővel: -1000.

$$x^{2}-17x=-\frac{30000}{-1000}$$

-30000 elosztása a következővel: -1000.

$$x^{2}-17x=30$$

Elosztjuk a(z) -17 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{17}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{17}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{17}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=30+\frac{289}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 30 és \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{409}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{17}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{409}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{409}}{2}$$