-x^2+14x=-11 megoldása

$$- x ^ { 2 } + 14 x = - 11$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2\sqrt{15}+7\approx 14,745966692$$

$$x=7-2\sqrt{15}\approx -0,745966692$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 11.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=-11-\left(-11\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=0$$

-11 kivonása a következőből: 0.

$$-x^{2}+14x+11=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) 11 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 11.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+44}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 44.

$$x=\frac{-14±\sqrt{240}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 240.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}-14}{-2}$$

-14+4\sqrt{15} elosztása a következővel: -2.

$$x=7-2\sqrt{15}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}). ± előjele negatív. 4\sqrt{15} kivonása a következőből: -14.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}-14}{-2}$$

-14-4\sqrt{15} elosztása a következővel: -2.

$$x=2\sqrt{15}+7$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7-2\sqrt{15} x=2\sqrt{15}+7$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

14 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-14x=-\frac{11}{-1}$$

-11 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-14x=11$$

Elosztjuk a(z) -14 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -7. Ezután hozzáadjuk -7 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=11+\left(-7\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x^{2}-14x+49=11+49$$

Összeadjuk a következőket: 11 és 49.

$$x^{2}-14x+49=60$$

Tényezőkre x^{2}-14x+49. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-7\right)^{2}=60$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{60}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-7=2\sqrt{15} x-7=-2\sqrt{15}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$x=2\sqrt{15}+7 x=7-2\sqrt{15}$$