-3x^2-11x-10>0 megoldása

$$- 3 x ^ { 2 } - 11 x - 10 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megszorozzuk az egyenlőtlenséget mínusz 1-gyel, hogy pozitív legyen a kifejezésben (-3x^{2}-11x-10) szereplő legnagyobb hatvány együtthatója. A(z) -1 negatív, ezért az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

$$3x^{2}+11x+10<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$3x^{2}+11x+10=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 11 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-11±1}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-11±1}{6}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=-\frac{5}{3} x=-2$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$3\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x+\frac{5}{3} és x+2) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x+\frac{5}{3} eredménye pozitív, x+2 eredménye pedig negatív.

$$x+\frac{5}{3}>0 x+2<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+2 eredménye pozitív, x+\frac{5}{3} eredménye pedig negatív.

$$x+2>0 x+\frac{5}{3}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right).

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-2,-\frac{5}{3}\right)$$