-16t^2+36t+7=0 megoldása

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2,430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0,180038314$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -16 értéket a-ba, a(z) 36 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 36.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 64 és 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1296 és 448.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1744.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -36 és 4\sqrt{109}.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

-36+4\sqrt{109} elosztása a következővel: -32.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}). ± előjele negatív. 4\sqrt{109} kivonása a következőből: -36.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

-36-4\sqrt{109} elosztása a következővel: -32.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

Ha kivonjuk a(z) 7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -16.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

A(z) -16 értékkel való osztás eltünteti a(z) -16 értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

A törtet (\frac{36}{-16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

-7 elosztása a következővel: -16.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

\frac{7}{16} és \frac{81}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

Tényezőkre t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{8}.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$