(40-x)(20+2x)=1500 megoldása

$$(40-x)(20+2x)=1500$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=15+5\sqrt{5}i\approx 15+11,180339887i$$

$$x=-5\sqrt{5}i+15\approx 15-11,180339887i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (40-x és 20+2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1500.

$$800+60x-2x^{2}-1500=0$$

Kivonjuk a(z) 1500 értékből a(z) 800 értéket. Az eredmény -700.

$$-700+60x-2x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-2x^{2}+60x-700=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) 60 értéket b-be és a(z) -700 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+8\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és -700.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-5600}}{2\left(-2\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 3600 és -5600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{-2000}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -2000.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -60 és 20i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-60+20\sqrt{5}i}{-4}$$

-60+20i\sqrt{5} elosztása a következővel: -4.

$$x=-5\sqrt{5}i+15$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}). ± előjele negatív. 20i\sqrt{5} kivonása a következőből: -60.

$$x=\frac{-20\sqrt{5}i-60}{-4}$$

-60-20i\sqrt{5} elosztása a következővel: -4.

$$x=15+5\sqrt{5}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-5\sqrt{5}i+15 x=15+5\sqrt{5}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (40-x és 20+2x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 800.

$$60x-2x^{2}=1500-800$$

Kivonjuk a(z) 800 értékből a(z) 1500 értéket. Az eredmény 700.

$$60x-2x^{2}=700$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-2x^{2}+60x=700$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$\frac{-2x^{2}+60x}{-2}=\frac{700}{-2}$$

A(z) -2 értékkel való osztás eltünteti a(z) -2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{60}{-2}x=\frac{700}{-2}$$

60 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-30x=\frac{700}{-2}$$

700 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}-30x=-350$$

Elosztjuk a(z) -30 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -15. Ezután hozzáadjuk -15 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=-350+\left(-15\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x^{2}-30x+225=-350+225$$

Összeadjuk a következőket: -350 és 225.

$$x^{2}-30x+225=-125$$

Tényezőkre x^{2}-30x+225. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-15\right)^{2}=-125$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{-125}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-15=5\sqrt{5}i x-15=-5\sqrt{5}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$x=15+5\sqrt{5}i x=-5\sqrt{5}i+15$$