(2x-3)(x+1)-(x-2)<0 megoldása

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x-3 és x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

x-2 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Összevonjuk a következőket: -x és -x. Az eredmény -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Összeadjuk a következőket: -3 és 2. Az eredmény -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} és x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} eredménye pozitív, x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} eredménye pozitív, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$