(2x-3)(2x+3)-x(x-1)=5 megoldása

$$(2x-3)(2x+3)-x(x-1)=5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Vegyük a következőt: \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$\left(2x\right)^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x-1.

$$4x^{2}-9-\left(x^{2}-x\right)=5$$

x^{2}-x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4x^{2}-9-x^{2}+x=5$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}-9+x=5$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$3x^{2}-9+x-5=0$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) -9 értéket. Az eredmény -14.

$$3x^{2}-14+x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+x-14=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -14 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$x=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-1±13}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±13}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és 13.

$$x=\frac{12}{6}$$

12 elosztása a következővel: 6.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±13}{6}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: -1.

$$x=-\frac{14}{6}$$

A törtet (\frac{-14}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-\frac{7}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Vegyük a következőt: \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$\left(2x\right)^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$4x^{2}-9-x\left(x-1\right)=5$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x és x-1.

$$4x^{2}-9-\left(x^{2}-x\right)=5$$

x^{2}-x ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$4x^{2}-9-x^{2}+x=5$$

Összevonjuk a következőket: 4x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}-9+x=5$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 9.

$$3x^{2}+x=5+9$$

Összeadjuk a következőket: 5 és 9. Az eredmény 14.

$$3x^{2}+x=14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{14}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{14}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{14}{3}+\frac{1}{36}$$

\frac{14}{3} és \frac{1}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{169}{36}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{13}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{6}.

$$x=2 x=-\frac{7}{3}$$