(20-x)(100+20x)=2240 megoldása

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-x és 100+20x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2240.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Kivonjuk a(z) 2240 értékből a(z) 2000 értéket. Az eredmény -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -20 értéket a-ba, a(z) 300 értéket b-be és a(z) -240 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 300.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 80 és -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 90000 és -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -300 és 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

-300+20\sqrt{177} elosztása a következővel: -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}). ± előjele negatív. 20\sqrt{177} kivonása a következőből: -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

-300-20\sqrt{177} elosztása a következővel: -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (20-x és 100+20x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2000.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Kivonjuk a(z) 2000 értékből a(z) 2240 értéket. Az eredmény 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

A(z) -20 értékkel való osztás eltünteti a(z) -20 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

300 elosztása a következővel: -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

240 elosztása a következővel: -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Elosztjuk a(z) -15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -12 és \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$