(10-x)(200+50x)=1250 megoldása

$$(10-x)(200+50x)=1250$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (10-x és 200+50x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1250.

$$2000+300x-50x^{2}-1250=0$$

Kivonjuk a(z) 1250 értékből a(z) 2000 értéket. Az eredmény 750.

$$750+300x-50x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-50x^{2}+300x+750=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -50 értéket a-ba, a(z) 300 értéket b-be és a(z) 750 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 300.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -50.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+200\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 200 és 750.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+150000}}{2\left(-50\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 90000 és 150000.

$$x=\frac{-300±\sqrt{240000}}{2\left(-50\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 240000.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{2\left(-50\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -50.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -300 és 200\sqrt{6}.

$$x=\frac{200\sqrt{6}-300}{-100}$$

-300+200\sqrt{6} elosztása a következővel: -100.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}). ± előjele negatív. 200\sqrt{6} kivonása a következőből: -300.

$$x=\frac{-200\sqrt{6}-300}{-100}$$

-300-200\sqrt{6} elosztása a következővel: -100.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3-2\sqrt{6} x=2\sqrt{6}+3$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (10-x és 200+50x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2000.

$$300x-50x^{2}=1250-2000$$

Kivonjuk a(z) 2000 értékből a(z) 1250 értéket. Az eredmény -750.

$$300x-50x^{2}=-750$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-50x^{2}+300x=-750$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -50.

$$\frac{-50x^{2}+300x}{-50}=-\frac{750}{-50}$$

A(z) -50 értékkel való osztás eltünteti a(z) -50 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{300}{-50}x=-\frac{750}{-50}$$

300 elosztása a következővel: -50.

$$x^{2}-6x=-\frac{750}{-50}$$

-750 elosztása a következővel: -50.

$$x^{2}-6x=15$$

Elosztjuk a(z) -6 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -3. Ezután hozzáadjuk -3 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Összeadjuk a következőket: 15 és 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Tényezőkre x^{2}-6x+9. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$