(x-10)(30-x)=144 megoldása

$$( x - 10 ) ( 30 - x ) = 144$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-2\sqrt{11}i+20\approx 20-6,633249581i$$

$$x=20+2\sqrt{11}i\approx 20+6,633249581i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-10 és 30-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$40x-x^{2}-300=144$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 144.

$$40x-x^{2}-300-144=0$$

Kivonjuk a(z) 144 értékből a(z) -300 értéket. Az eredmény -444.

$$40x-x^{2}-444=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+40x-444=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 40 értéket b-be és a(z) -444 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-1\right)\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 40.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -444.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1776}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 1600 és -1776.

$$x=\frac{-40±\sqrt{-176}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -176.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -40 és 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-40+4\sqrt{11}i}{-2}$$

-40+4i\sqrt{11} elosztása a következővel: -2.

$$x=-2\sqrt{11}i+20$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{11} kivonása a következőből: -40.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-40}{-2}$$

-40-4i\sqrt{11} elosztása a következővel: -2.

$$x=20+2\sqrt{11}i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-2\sqrt{11}i+20 x=20+2\sqrt{11}i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-10 és 30-x), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$40x-x^{2}-300=144$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 300.

$$40x-x^{2}=144+300$$

Összeadjuk a következőket: 144 és 300. Az eredmény 444.

$$40x-x^{2}=444$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+40x=444$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+40x}{-1}=\frac{444}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{40}{-1}x=\frac{444}{-1}$$

40 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-40x=\frac{444}{-1}$$

444 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-40x=-444$$

Elosztjuk a(z) -40 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -20. Ezután hozzáadjuk -20 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-444+\left(-20\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -20.

$$x^{2}-40x+400=-444+400$$

Összeadjuk a következőket: -444 és 400.

$$x^{2}-40x+400=-44$$

Tényezőkre x^{2}-40x+400. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-20\right)^{2}=-44$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{-44}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-20=2\sqrt{11}i x-20=-2\sqrt{11}i$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 20.

$$x=20+2\sqrt{11}i x=-2\sqrt{11}i+20$$