(x^2+x-1)^2+x^2+x-3=0 megoldása

$$( x ^ { 2 } + x - 1 ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } + x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-2$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

A megoldás lépései

Egyszerűsítünk.

$$x^{4}+2x^{3}-x-2=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -2 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+2x^{3}-x-2 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+3x^{2}+3x+2. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+3x^{2}+3x+2=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 2 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+3x^{2}+3x+2 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}+x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+x+1=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-2 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-2$$

$$x=1$$

A megoldás lépései

Egyszerűsítünk.

$$x^{4}+2x^{3}-x-2=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -2 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+2x^{3}-x-2 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+3x^{2}+3x+2. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+3x^{2}+3x+2=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 2 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+3x^{2}+3x+2 értéket a(z) x+2 értékkel. Az eredmény x^{2}+x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-2$$