(x^2+3x-2)(x^2+3x+4)=16 megoldása

$$( x ^ { 2 } + 3 x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 3 x + 4 ) = 16$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-4$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1,5-1,936491673i$$

A megoldás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x^{2}+3x-2 és x^{2}+3x+4), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) -8 értéket. Az eredmény -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -24 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+7x^{2}+18x+24. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 24 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-4$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+7x^{2}+18x+24 értéket a(z) x+4 értékkel. Az eredmény x^{2}+3x+6. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 6 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x^{2}+3x+6=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-4 x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=1$$

A megoldás lépései

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x^{2}+3x-2 és x^{2}+3x+4), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 16.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) -8 értéket. Az eredmény -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -24 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 értéket a(z) x-1 értékkel. Az eredmény x^{3}+7x^{2}+18x+24. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 24 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-4$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) x^{3}+7x^{2}+18x+24 értéket a(z) x+4 értékkel. Az eredmény x^{2}+3x+6. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 6 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=1 x=-4$$