(5x-2)^2-(3x+4)^2=0 megoldása

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-2\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3x+4\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -9x^{2}. Az eredmény 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: -20x és -24x. Az eredmény -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4x^{2}+ax+bx-3 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-12 b=1$$

Átírjuk az értéket (4x^{2}-11x-3) \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right) alakban.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Emelje ki a(z) 4x elemet a(z) 4x^{2}-12x kifejezésből.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a 4x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-2\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3x+4\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -9x^{2}. Az eredmény 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: -20x és -24x. Az eredmény -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 16 értéket a-ba, a(z) -44 értéket b-be és a(z) -12 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -44.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 16.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: -64 és -12.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

Összeadjuk a következőket: 1936 és 768.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2704.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

-44 ellentettje 44.

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 16.

$$x=\frac{44±52}{32}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{44±52}{32}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 44 és 52.

$$x=\frac{96}{32}$$

96 elosztása a következővel: 32.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{44±52}{32}). ± előjele negatív. 52 kivonása a következőből: 44.

$$x=-\frac{8}{32}$$

A törtet (\frac{-8}{32}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-2\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(3x+4\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -9x^{2}. Az eredmény 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: -20x és -24x. Az eredmény -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$16x^{2}-44x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 16.

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

A(z) 16 értékkel való osztás eltünteti a(z) 16 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

A törtet (\frac{-44}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

A törtet (\frac{12}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{11}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

\frac{3}{4} és \frac{121}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{8}.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$