(5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x megoldása

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-2\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Vegyük a következőt: \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 1. Az eredmény 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 47.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Kivonjuk a(z) 47 értékből a(z) 5 értéket. Az eredmény -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Összevonjuk a következőket: -20x és -x. Az eredmény -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-2 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=-2 b=1$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-x-2) \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right) alakban.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) x^{2}-2x kifejezésből.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-2=0 és a x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-2\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Vegyük a következőt: \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 1. Az eredmény 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 47.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Kivonjuk a(z) 47 értékből a(z) 5 értéket. Az eredmény -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Összevonjuk a következőket: -20x és -x. Az eredmény -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 21 értéket a-ba, a(z) -21 értéket b-be és a(z) -42 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Összeszorozzuk a következőket: -84 és -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Összeadjuk a következőket: 441 és 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21 ellentettje 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{21±63}{42}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 21 és 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

84 elosztása a következővel: 42.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{21±63}{42}). ± előjele negatív. 63 kivonása a következőből: 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

-42 elosztása a következővel: 42.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-2\right)^{2}).

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Vegyük a következőt: \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Kifejtjük a következőt: \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Kiszámoljuk a(z) 2 érték 2. hatványát. Az eredmény 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Összevonjuk a következőket: 25x^{2} és -4x^{2}. Az eredmény 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 1. Az eredmény 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Összevonjuk a következőket: -20x és -x. Az eredmény -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 47 értéket. Az eredmény 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

A(z) 21 értékkel való osztás eltünteti a(z) 21 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

-21 elosztása a következővel: 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

42 elosztása a következővel: 21.

$$x^{2}-x=2$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 2 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=2 x=-1$$