x^2+1/x^2=5 megoldása

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 2 } } =5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}\approx -2,188901059$$

$$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \approx 2,188901059$$

$$x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}\approx 0,456850252$$

$$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}\approx -0,456850252$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet 0, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x^{2}.

$$x^{2}x^{2}+1=5x^{2}$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 2 és 2 összege 4.

$$x^{4}+1=5x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5x^{2}.

$$x^{4}+1-5x^{2}=0$$

t behelyettesítése x^{2} helyére.

$$t^{2}-5t+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{5±\sqrt{21}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{5±\sqrt{21}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{\sqrt{21}+5}{2} t=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Mivel x=t^{2}, a megoldások megtalálásához x=±\sqrt{t} értékét minden egyes t értékre vonatkozóan kiértékelve kapjuk meg.

$$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} x=-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} x=-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2} x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$$