sqrt{x^2+4}+sqrt{left(12-xright)^2+9}=13 megoldása

$$\sqrt{ { x }^{ 2 } +4 } + \sqrt{ { \left(12-x \right) }^{ 2 } +9 } =13$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4,8$$

A megoldás lépései

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(12-x\right)^{2}).

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{144-24x+x^{2}+9}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és 9. Az eredmény 153.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{x^{2}+4}\right)^{2}=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x^{2}+4} érték 2. hatványát. Az eredmény x^{2}+4.

$$x^{2}+4=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}).

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{153-24x+x^{2}} érték 2. hatványát. Az eredmény 153-24x+x^{2}.

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+153-24x+x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és 153. Az eredmény 322.

$$x^{2}+4=322-26\sqrt{153-24x+x^{2}}-24x+x^{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 322-24x+x^{2}.

$$x^{2}+4-\left(322-24x+x^{2}\right)=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

322-24x+x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$x^{2}+4-322+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Kivonjuk a(z) 322 értékből a(z) 4 értéket. Az eredmény -318.

$$x^{2}-318+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 0.

$$-318+24x=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(-318+24x\right)^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-318+24x\right)^{2}).

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kifejtjük a következőt: \left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\right)^{2}\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) -26 érték 2. hatványát. Az eredmény 676.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{153-24x+x^{2}} érték 2. hatványát. Az eredmény 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(153-24x+x^{2}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 676 és 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=103428-16224x+676x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 103428.

$$101124-15264x+576x^{2}-103428=-16224x+676x^{2}$$

Kivonjuk a(z) 103428 értékből a(z) 101124 értéket. Az eredmény -2304.

$$-2304-15264x+576x^{2}=-16224x+676x^{2}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 16224x.

$$-2304-15264x+576x^{2}+16224x=676x^{2}$$

Összevonjuk a következőket: -15264x és 16224x. Az eredmény 960x.

$$-2304+960x+576x^{2}=676x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 676x^{2}.

$$-2304+960x+576x^{2}-676x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 576x^{2} és -676x^{2}. Az eredmény -100x^{2}.

$$-2304+960x-100x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-100x^{2}+960x-2304=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -100 értéket a-ba, a(z) 960 értéket b-be és a(z) -2304 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-960±\sqrt{960^{2}-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 960.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -100.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600+400\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 400 és -2304.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-921600}}{2\left(-100\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 921600 és -921600.

$$x=\frac{-960±\sqrt{0}}{2\left(-100\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{960}{2\left(-100\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -100.

$$x=-\frac{960}{-200}$$

A törtet (\frac{-960}{-200}) leegyszerűsítjük 40 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{24}{5}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{24}{5} értéket x helyére a(z) \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}=13 egyenletben.

$$\sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12-\frac{24}{5}\right)^{2}+9}=13$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\frac{24}{5} érték kielégíti az egyenletet.

$$13=13$$

A(z) \sqrt{x^{2}+4}=-\sqrt{x^{2}-24x+153}+13 egyenletnek egyedi megoldása van.

$$x=\frac{24}{5}$$