sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4 megoldása

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

A megoldás lépései

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: -\sqrt{15+x^{2}}.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{25-x^{2}} érték 2. hatványát. Az eredmény 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}).

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{15+x^{2}} érték 2. hatványát. Az eredmény 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 15. Az eredmény 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 31+x^{2}.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kivonjuk a(z) 31 értékből a(z) 25 értéket. Az eredmény -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és -x^{2}. Az eredmény -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(-6-2x^{2}\right)^{2}).

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kifejtjük a következőt: \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) 8 érték 2. hatványát. Az eredmény 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{15+x^{2}} érték 2. hatványát. Az eredmény 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 64 és 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 960.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Kivonjuk a(z) 960 értékből a(z) 36 értéket. Az eredmény -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 64x^{2}.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 24x^{2} és -64x^{2}. Az eredmény -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

t behelyettesítése x^{2} helyére.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) -40 értéket b-be és a(z) -924 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{40±128}{8}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=21 t=-11$$

Mivel x=t^{2}, a megoldások megtalálásához x=±\sqrt{t} értékét minden egyes t értékre vonatkozóan kiértékelve kapjuk meg.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Behelyettesítjük a(z) -\sqrt{21} értéket x helyére a(z) \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 egyenletben.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Egyszerűsítünk. Az x=-\sqrt{21} értéke nem felel meg az egyenletbe, mert a bal és a jobb oldali két oldal az egyenletjel.

$$-4=4$$

Behelyettesítjük a(z) \sqrt{21} értéket x helyére a(z) \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 egyenletben.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Egyszerűsítünk. Az x=\sqrt{21} értéke nem felel meg az egyenletbe, mert a bal és a jobb oldali két oldal az egyenletjel.

$$-4=4$$

Behelyettesítjük a(z) -\sqrt{11}i értéket x helyére a(z) \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 egyenletben.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=-\sqrt{11}i érték kielégíti az egyenletet.

$$4=4$$

Behelyettesítjük a(z) \sqrt{11}i értéket x helyére a(z) \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 egyenletben.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=\sqrt{11}i érték kielégíti az egyenletet.

$$4=4$$

A(z) \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 egyenlet összes megoldásának felsorolása

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$