sinh(1)= megoldása

$$\sin h ( 1 ) =$$

Differenciálás h szerint

$$\cos(h)$$

Lépések a definíció szerinti deriválás használatával

Egy f\left(x\right) függvény deriváltja az \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} kifejezés határértéke, ha h tart 0-hoz, feltéve, hogy létezik határérték.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Két szám összegének a szinuszára vonatkozó azonosságot használjuk.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Kiemeljük a következőt: \sin(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Átalakítjuk a határértéket.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

A határérték (t tart a következőhöz: 0) kiszámolásához felhasználjuk, hogy h konstans.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

A határérték (\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}) 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

A határérték (\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}) kiszámításához először megszorozzuk a számlálót és a nevezőt a következővel: \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \cos(t)+1 és \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

A pitagoraszi azonosságot használjuk.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Átalakítjuk a határértéket.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

A határérték (\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}) 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Felhasználjuk, hogy \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} folytonos a(z) 0 pontban.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Behelyettesítjük a(z) 0 értéket a(z) \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h) kifejezésbe.

$$\cos(h)$$

Kiértékelés

$$\sin(h)$$