∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt= megoldása

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

Kiértékelés

$$-540$$

A megoldás lépései

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t^{3}\mathrm{d}t \frac{t^{4}}{4}. Összeszorozzuk a következőket: 15 és \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: -135 és \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: 225 és \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$-540$$