∫ (x+1)(2x-1)(x+9) wrt x megoldása

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ( x + 9 ) d x$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

A megoldás lépései

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (x+1) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (2x-1) minden tagjával.

$$\int \left(2x^{2}-x+2x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a következőket: -x és 2x. Az eredmény x.

$$\int \left(2x^{2}+x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (2x^{2}+x-1) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (x+9) minden tagjával.

$$\int 2x^{3}+18x^{2}+x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a következőket: 18x^{2} és x^{2}. Az eredmény 19x^{2}.

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a következőket: 9x és -x. Az eredmény 8x.

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+8x-9\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 19x^{2}\mathrm{d}x+\int 8x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: 19 és \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: 8 és \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}+\int -9\mathrm{d}x$$

A -9 az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x$$

Ha F\left(x\right) egy f\left(x\right), akkor a f\left(x\right) összes antiderivatives készlete F\left(x\right)+C. Ezért adja hozzá az integráció állandót C\in \mathrm{R} az eredménybe.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

Differenciálás x szerint

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+9\right)$$