∫ (x+1)(2x+2)(x+1) megoldása

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x + 2 ) ( x + 1 )$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x+С$$

A megoldás lépései

Összeszorozzuk a következőket: x+1 és x+1. Az eredmény \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x+1\right)^{2}\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$\int \left(x^{2}+2x+1\right)\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Felhasználjuk a disztributivitást úgy, hogy a kifejezés (x^{2}+2x+1) minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés (2x+2) minden tagjával.

$$\int 2x^{3}+2x^{2}+4x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a következőket: 2x^{2} és 4x^{2}. Az eredmény 6x^{2}.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Összevonjuk a következőket: 4x és 2x. Az eredmény 6x.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+6x+2\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: 6 és \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: 6 és \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

A 2 az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$

Ha F\left(x\right) egy f\left(x\right), akkor a f\left(x\right) összes antiderivatives készlete F\left(x\right)+C. Ezért adja hozzá az integráció állandót C\in \mathrm{R} az eredménybe.

$$3x^{2}+2x^{3}+\frac{x^{4}}{2}+2x+С$$

Differenciálás x szerint

$$2\left(x+1\right)^{3}$$