∫ 18x^3+33x^2-40x-75/3x+5 wrt x megoldása

$$\int \frac { 18 x ^ { 3 } + 33 x ^ { 2 } - 40 x - 75 } { 3 x + 5 } d x$$

Kiértékelés

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x+С$$

A megoldás lépései

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{18x^{3}+33x^{2}-40x-75}{3x+5}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\int \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+5\right)^{2}}{3x+5}\mathrm{d}x$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: 3x+5.

$$\int \left(2x-3\right)\left(3x+5\right)\mathrm{d}x$$

Kibontjuk a kifejezést.

$$\int 6x^{2}+x-15\mathrm{d}x$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: 6 és \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Mivel \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

A -15 az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x$$

Ha F\left(x\right) egy f\left(x\right), akkor a f\left(x\right) összes antiderivatives készlete F\left(x\right)+C. Ezért adja hozzá az integráció állandót C\in \mathrm{R} az eredménybe.

$$-15x+\frac{x^{2}}{2}+2x^{3}+С$$

Differenciálás x szerint

$$6x^{2}+x-15$$