-1/x-1+1/x+1=2/x+2 megoldása

$$\frac{ -1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ x+1 } = \frac{ 2 }{ x+2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,-1,1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-1,x+1,x+2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right).

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x+1 és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}+3x+2 és -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-1 és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és x^{2}. Az eredmény 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Összevonjuk a következőket: -3x és x. Az eredmény -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) -2 értéket. Az eredmény -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}-1 és 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2.

$$-2x-4-2x^{2}+2=0$$

Összeadjuk a következőket: -4 és 2. Az eredmény -2.

$$-2x-2-2x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-2x^{2}-2x-2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -2 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 8 és -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2\left(-2\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-4}$$

2+2i\sqrt{3} elosztása a következővel: -4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{3} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{-4}$$

2-2i\sqrt{3} elosztása a következővel: -4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

A változó (x) értéke nem lehet ezen értékek egyike sem: -2,-1,1. Nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk x-1,x+1,x+2 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right).

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x+1 és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}+3x+2 és -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x-1 és x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Összevonjuk a következőket: -x^{2} és x^{2}. Az eredmény 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Összevonjuk a következőket: -3x és x. Az eredmény -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Kivonjuk a(z) 2 értékből a(z) -2 értéket. Az eredmény -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: x^{2}-1 és 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$-2x-2x^{2}=-2+4$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 4. Az eredmény 2.

$$-2x-2x^{2}=2$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-2x^{2}-2x=2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=\frac{2}{-2}$$

A(z) -2 értékkel való osztás eltünteti a(z) -2 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=\frac{2}{-2}$$

-2 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-2}$$

2 elosztása a következővel: -2.

$$x^{2}+x=-1$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$