x/x-1-1/x^2-1= megoldása

$$\frac { x } { x - 1 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } =$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}$$

A gyors megoldás lépései

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-1 kifejezést.

$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. x-1 és \left(x-1\right)\left(x+1\right) legkisebb közös többszöröse \left(x-1\right)\left(x+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{x-1} és \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Mivel \frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} és \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{x\left(x+1\right)-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Elvégezzük a képletben (x\left(x+1\right)-1) szereplő szorzásokat.

$$\frac{x^{2}+x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Kifejtjük a következőt: \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1}$$

Differenciálás x szerint

$$-\frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}-1 kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. x-1 és \left(x-1\right)\left(x+1\right) legkisebb közös többszöröse \left(x-1\right)\left(x+1\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{x-1} és \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Mivel \frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} és \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x\left(x+1\right)-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Elvégezzük a képletben (x\left(x+1\right)-1) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}+x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Vegyük a következőt: \left(x-1\right)\left(x+1\right). A szorzás négyzetre emelt értékek különbségévé alakítható ezzel a szabállyal: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}+x-1}{x^{2}-1})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+x^{1}-1)-\left(x^{2}+x^{1}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-1)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\left(2x^{2-1}+x^{1-1}\right)-\left(x^{2}+x^{1}-1\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)-\left(x^{2}+x^{1}-1\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: x^{2}-1 és 2x^{1}+x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{1}+x^{2}x^{0}-2x^{1}-x^{0}-\left(x^{2}+x^{1}-1\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: x^{2}+x^{1}-1 és 2x^{1}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{1}+x^{2}x^{0}-2x^{1}-x^{0}-\left(x^{2}\times 2x^{1}+x^{1}\times 2x^{1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{2x^{2+1}+x^{2}-2x^{1}-x^{0}-\left(2x^{2+1}+2x^{1+1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{2x^{3}+x^{2}-2x^{1}-x^{0}-\left(2x^{3}+2x^{2}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{-x^{2}-x^{0}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$