x/x^2+10x+24-4/x^2+6x+8 megoldása

$$\frac { x } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 6 x + 8 }$$

Kiértékelés

$$\frac{x-6}{\left(x+2\right)\left(x+6\right)}$$

A gyors megoldás lépései

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+10x+24 kifejezést. Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+6x+8 kifejezést.

$$\frac{x}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)}-\frac{4}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(x+4\right)\left(x+6\right) és \left(x+2\right)\left(x+4\right) legkisebb közös többszöröse \left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)} és \frac{x+2}{x+2}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{4}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)} és \frac{x+6}{x+6}.

$$\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}-\frac{4\left(x+6\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}$$

Mivel \frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)} és \frac{4\left(x+6\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{x\left(x+2\right)-4\left(x+6\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}$$

Elvégezzük a képletben (x\left(x+2\right)-4\left(x+6\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{x^{2}+2x-4x-24}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}$$

Összevonjuk a kifejezésben (x^{2}+2x-4x-24) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{x^{2}-2x-24}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{x^{2}-2x-24}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: x+4.

$$\frac{x-6}{\left(x+2\right)\left(x+6\right)}$$

Kifejtjük a következőt: \left(x+2\right)\left(x+6\right).

$$\frac{x-6}{x^{2}+8x+12}$$

Differenciálás x szerint

$$\frac{60+12x-x^{2}}{x^{4}+16x^{3}+88x^{2}+192x+144}$$

Lépések a hányados deriváltjára vonatkozó szabály használatával

Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+10x+24 kifejezést. Szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+6x+8 kifejezést.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)}-\frac{4}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)})$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. \left(x+4\right)\left(x+6\right) és \left(x+2\right)\left(x+4\right) legkisebb közös többszöröse \left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right). Összeszorozzuk a következőket: \frac{x}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)} és \frac{x+2}{x+2}. Összeszorozzuk a következőket: \frac{4}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)} és \frac{x+6}{x+6}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}-\frac{4\left(x+6\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)})$$

Mivel \frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)} és \frac{4\left(x+6\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x\left(x+2\right)-4\left(x+6\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)})$$

Elvégezzük a képletben (x\left(x+2\right)-4\left(x+6\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}+2x-4x-24}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)})$$

Összevonjuk a kifejezésben (x^{2}+2x-4x-24) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}-2x-24}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)})$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{x^{2}-2x-24}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x-6\right)\left(x+4\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)})$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: x+4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-6}{\left(x+2\right)\left(x+6\right)})$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (x+2 és x+6), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-6}{x^{2}+8x+12})$$

Bármely két differenciálható függvény esetén a két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a nevező szorozva a számláló deriváltjával mínusz a számláló szorozva a nevező deriváltjával, majd ez az eredmény osztva a nevező négyzetével.

$$\frac{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1}-6)-\left(x^{1}-6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+8x^{1}+12)}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Egy polinom deriváltja a tagok deriváltjainak összege. Bármely konstans tag deriváltja 0. ax^{n} deriváltja nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)x^{1-1}-\left(x^{1}-6\right)\left(2x^{2-1}+8x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)x^{0}-\left(x^{1}-6\right)\left(2x^{1}+8x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: x^{2}+8x^{1}+12 és x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}+8x^{1}x^{0}+12x^{0}-\left(x^{1}-6\right)\left(2x^{1}+8x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Összeszorozzuk a következőket: x^{1}-6 és 2x^{1}+8x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}+8x^{1}x^{0}+12x^{0}-\left(x^{1}\times 2x^{1}+x^{1}\times 8x^{0}-6\times 2x^{1}-6\times 8x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Azonos alapú hatványok szorzásához összeadjuk a kitevőjüket.

$$\frac{x^{2}+8x^{1}+12x^{0}-\left(2x^{1+1}+8x^{1}-6\times 2x^{1}-6\times 8x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{x^{2}+8x^{1}+12x^{0}-\left(2x^{2}+8x^{1}-12x^{1}-48x^{0}\right)}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Összevonjuk az egynemű kifejezéseket.

$$\frac{-x^{2}+12x^{1}+60x^{0}}{\left(x^{2}+8x^{1}+12\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t^{1}=t.

$$\frac{-x^{2}+12x+60x^{0}}{\left(x^{2}+8x+12\right)^{2}}$$

Az 0 kivételével minden t tagra, t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}+12x+60\times 1}{\left(x^{2}+8x+12\right)^{2}}$$

Minden t tagra, t\times 1=t és 1t=t.

$$\frac{-x^{2}+12x+60}{\left(x^{2}+8x+12\right)^{2}}$$