x/3+y/4=4;x/2-y/4=1 megoldása

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=6$$

$$y=8$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 12.

$$4x+3y=48$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 2,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4.

$$2x-y=4$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$4x+3y=48$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3y.

$$4x=-3y+48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{4} és -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Behelyettesítjük a(z) -\frac{3y}{4}+12 értéket x helyére a másik, 2x-y=4 egyenletben.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Összeadjuk a következőket: -\frac{3y}{2} és -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 24.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: -\frac{5}{2}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=8$$

A(z) x=-\frac{3}{4}y+12 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 8. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Összeszorozzuk a következőket: -\frac{3}{4} és 8.

$$x=-6+12$$

Összeadjuk a következőket: 12 és -6.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=8$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 12.

$$4x+3y=48$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 2,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4.

$$2x-y=4$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=6,y=8$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 12.

$$4x+3y=48$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 2,4 legkisebb közös többszörösével, azaz ennyivel: 4.

$$2x-y=4$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

4x és 2x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 2, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Egyszerűsítünk.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

8x-4y=16 kivonása a következőből: 8x+6y=96: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Összeadjuk a következőket: 8x és -8x. 8x és -8x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$6y+4y=96-16$$

Összeadjuk a következőket: 6y és 4y.

$$10y=96-16$$

Összeadjuk a következőket: 96 és -16.

$$10y=80$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 10.

$$y=8$$

A(z) 2x-y=4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 8. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$2x-8=4$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 8.

$$2x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$x=6$$

A rendszer megoldva.

$$x=6,y=8$$